Gostaria de iniciar este tópico, na verdade falando inicialmente de ensino de matemática, esperando contribuições também no ensino de outras disciplinas.

Quem tem mais de 50 anos há de lembrar que o ensino de matemática contemplava as demonstrações de teoremas, mesmo no antigo curso ginasial e principalmente no currículo do científico (colegial), ou seja lá qual for o nome que queiram dar a isto. Houve duas grandes mudanças. A primeira foi a introdução da matemática moderna nos anos 60-70, que tirou os holofotes da geometria e deu grande importância à teoria dos conjuntos (essa mudança foi inspirada pelas ideias do grupo francês Bourbaki). Nos anos 80-90, as demontrações foram praticamente eliminadas dos textos didáticos, talvez por influência construtivista, (Piaget? penso que ele não iria gostar...) ou seja lá qual for o nome que se queira dar a esta radicalizaçao. Os textos construiam as idéias a partir de exemplos, deixando de lado as definições formais, os axiomas, a argumentação lógica e os enunciados formais dos teoremas. Essas mudanças provocaram efeitos negativos e positivos no aprendizado, que gostaria que fossem aqui discutidos.

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Respostas a este tópico

Projeto de ensino a distância da HUGHES na Amazônia ganha prêmio WISE
Tuesday, October 27, 2009 11:44 AM
Iniciativa brasileira vence como melhor projeto em categoria de
inovação
http://recantodasletras.uol.com.br/mensagens/1889810
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Legal, mas acho que voce postou no lugar errado...
desculpe nossa falha.
abraço do DL
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espero a info. seja util.
abraço do DL
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Oi, Paulo

Incentivei você a abrir esse tópico, mas nao tenho posição formada especificamente sobre essa questao da demonstração de teoremas. Tendo a achar -- mas estou aberta a questionamentos a respeito -- que partir do concreto e chegar ao abstrato, nesse caso, seria melhor (e acho que Piaget concordaria com isso sim, desde que se chegue ao abstrato...).

Vejo muitas vezes a demonstração de teoremas ser defendida nao enquanto conteúdo matemático importante, mas sim enquanto exercício do pensamento lógico. Sem dúvida ela ajuda a desenvolvê-lo, a questao é: 1) é o único, ou o melhor modo de desenvolvê-lo? para os usos comuns da argumentação, nao seria melhor uma lógica mais retórica, mais argumentativa, e menos "matemática"? 2) a adolescência seria a melhor época para esse exercício da "lógica desencarnada"? 3) vale a pena incluir nos currículos tudo o que tenha um valor didático lato sensu qualquer? porque, pelo mesmo motivo de ser benéfico ao pensamento lógico, já vi defenderem a inclusao do xadrez...

Agora, nao sei se é um conteúdo matemático importante para a vida da maioria das pessoas. Creio que deve ser muito importante para engenheiros, arquitetos e designers; e talvez para pedreiros, marceneiros, construtores de objetos em geral (mas seria necessário passar pelas demonstrações, ou bastaria o conhecimento geométrico em pauta?). Mas para um grande número de profissoes nao vejo a necessidade de tanto conhecimento geométrico. (Repare, nao estou falando de conhecimento matemático, matemática é a linguagem da ciência, tenho a maior mágoa de ter estudado pouca matemática; mas álgebra e estatística me parecem muito mais importantes em geral, para pessoas de qualquer formação).

Repare, estou dizendo NAO SEI SE É, e nao ACHO QUE NAO É...

Outro aspecto da questao sao os métodos de ensino alternativos à demonstração de que você falou. Quais sao? Sao eficazes? Fazem mais sentido para os alunos?
Paulo

Posso estar errado, mas acho que não havia propriamente dito uma demonstração de teoremas, havia a colocação do Lema sem a demonstração.

Me lembro que inclusive que eu quando fazia as provas tinha que citar este Lema, e por possuir péssima memória para decorar sem entender tirava somente 8,0 nas provas (“o teorema” valia 2,0), isto ficou gravado pois foi a única vez que tentei colar em matemática, tentei e não levei, ou melhor ganhei uma grande lição e um Zero.

Quanto a Teoria dos Conjuntos concordo que da forma em que ela foi imposta, quase que como uma substituição, foi um grande atraso no ensino da matemática. Da mesma forma o ensino por “casos”, algo importado do ensino de Administração, este sim acho que é o grande erro que perdura até os dias de hoje. Sempre tive um desempenho razoável na parte de matemática e sempre fiz o mínimo de exercícios possível, não porque era mais dotado do que os outros, mas me atinha à estrutura do raciocínio.

Estou citando o meu desempenho, não para centrar a discussão nele, mas para saber até que ponto esta não é uma forma válida somente para minha pessoa.

Vou aguardar mais as opiniões para contribuir com o assunto.
Rogério, no "meu tempo" (rs, rs) eu demonstrava teoremas... Se isso é bom ou ruim nao sei... Hermeneuta tb demonstrava, ele se mostrou chocado diante da idéia de que nao se demonstra mais...

Gostaria de que vocês falassem tb do que pensam do uso do ábaco. Era instrumento pedagógico do meu tempo de Normal, e acho ótimo. Inclusive acho que, no fundamental, se pode começar ainda mais "concreto" (agrupando botoes em tubinhos, tubinhos em pacotes e pacotes em caixas), escrevendo cada algarismo seguido de botoes, tubinhos, pacotes, etc, daí trocar o tipo de unidades e conteúdos, até chegar à noção abstrata de unidade, dezena, centena, milhar, etc. Inclusive usar isso para fazer somas e subtrações, claro. E sei lá, brincar de supermercado, distribuir "notas falsas" (evidentemente falsas, claro), comprar e vender coisas, dinheiro sempre interessa mais do que quantidades genéricas...
Ana Lú

Em escolas Montessorianas ainda utilizam ábacos!
Concordo plenamente com o fato de que o ensino da matemática ficou mais acessível sem as demonstrações, e é capaz até de Piaget aprovasse a metodologia. O problema é a radicalização, a eliminação total das demonstrações, que acabou sendo negativa. De fato, a maioria das pessoas vai usar a matemática de maneira instrumental, e as quatro operações e a regra de três bem aprendidas vão ser suficientes para levar uma vida saudável e feliz. O problema é que não tendo uma pitada de construção axiomática e nenhuma demonstração, mesmo as elementares, faz com que as pessoas passem pela vida sem ter uma vaga noção do que é verdadeiramente a matemática. A matemática não é uma coleção de regras que deve ser memorizada... Quando a geometria era ensinada e ilustrada pelos cursos de desenho geométrico (2o e 3o ano ginasial) era possível fazer apresentação formal axioma-demonstração , mesmo que simples, de algum teoremas e os alunos tinham chance, principalmente aqueles que "gostavam", de começar a perceber a verdadeira natureza da matemática. Quem não gostava, ou ainda iria gostar no futuro, podia decorar, mas a chance existia. O verdadeiro aprendizado da matemática é aquele em que a abstração se introjeta no aluno e ele percebe que matemática é mais próxima da imaginação do que da informação, é mais perto do entendimento do que da memorização, é um exercício muito
poderoso de imaginação. Caso contrário formam-se os macacos que calculam da minha postagem (cade a resposta à minha provocação, Rogério?). Quando a matemática moderna foi introduzida e a geometria foi deixada de lado, o nível de abstração associado às demonstrações ficou excessivo. Logo os educadores dos anos 80-90, que eram vítimas traumatizadas das más escolhas passadas nos anos 60-70, adotaram o construtivismo, com razões certamente bem estudadas etc. Os efeitos positivos existiram, mas a matemática passou a ser uma coleção de regras sem sentido. Os efeitos negativos são mais sentidos nos cursos superiores de engenharia, matemática e física, onde a capacidade de abstração matemática da maioria dos alunos não é compativel com o ensino verdadeiro de cálculo. A solução adotada, principalmente pelos cursos de engenharia, é perpetuar a situação, tornando a matemática uma coleção de regras novamente sem sentido. Tristeza para o estudante de engenharia que gosta verdadeiramente de matemática...

Outro ponto importante é que a geometria não é só relevante para aquele que vai lidar com a linguagem da ciência no futuro. Quem estuda música não ouve os sons como aquele que não estuda. Os olhar de quem estudou geometria também não é igual ao de quem não estudou (não é opinião minha, mas de estudos que li, posso depois procurar as fontes). A matemática não é só a linguagem da ciência, é também, como as várias formas de arte, uma das linguagens da imaginação e da capacidade de abstração humanas. Não é necessário saber matemática para ter imaginação, não é isso que estou afirmando, mas melhor seria se passássemos pela vida com um lampejo de compreensão da mesma, não é?

A geração que está agora nas Universidades, principalmente os da classe média, foi criada em contato com video-games, computadores etc. Eles são extremamente rápidos nos raciocínios que podem ser feitos por exclusão (tentativa e erro), e são muito hábeis para programar computadores etc. Uma parte da imaginação no entanto, está visivelmente não explorada, não desenvolvida na maioria dos jovens. É a capacidade de abstração, que está também associada aos processos de reflexão que não são do tipo tentativa e erro. Tenho observado os alunos há 21 anos, e muito do que faço como docente é para tentar despertar nos alunos o outro lado de suas capacidades, que está associado às demonstrações e o verdadeiro significado da palavra matemática, dentro do contexto do curso de engenharia. Certamente a maioria não gosta de mim rs...
Como te disse, nao tenho opiniao formada a respeito. Passei pelas demonstrações e pelo desenho geométrico, e nao tiveram muita importância para mim (o desenho mais que as demonstrações; mas pode ser que estas tb tenham tido mais importância do que eu saiba, nesse sentido que você fala, de uma certa introjeção do que é demonstrar logicamente). Em compensação, hoje me interesso por tópicos em que saber bem funções seria imprescindível, e só tenho matemática de ginásio; mais álgebra me faz muita falta. Tb estatística me faz falta, e olha que tenho os rudimentos (bem rudimentares... distribuição de frequência, curva normal, média, moda, mediana, percentis, desvio padrão, variância... acabou).
Paulo

Só um reparo, os jogos de video-game, de certa forma, tiram a noção de causa e efeito.
Eu acho que os jogos em geral, mesmo o xadrez, não desenvolvem certos aspectos do raciocínio abstrato, pois trabalham com fenômenos combinatórios. As táticas podem ser adquiridas por tentativa e erro e posterior memorização, e as estratégias podem ser programadas em um computador com linguagens tradicionais. Isto é sinal que não há lugar para uma abstração muito profunda (coisa que ainda é difícil de ser programada em um computador). Assim acredito que uma pitada das construções lógicas/axiomáticas/demonstrações da matemática é quase insubstituível na formação dos adolescentes, mesmo que este processo fique esquecido após a fase adulta. A falta disso gera um tipo de analfabetismo funcional em matemática que vai impedir qualquer compreensão mais profunda da matemática para o resto da vida da maioria das pessoas, tirando aqueles iluminados que aprendem as coisas apesar da escola. Como a Anarquista Lucida mencionou, é possível que outros métodos mais lúdicos e menos áridos possam ser substitutos das demonstrações. Eu não acredito muito, mas se estes métodos exixtem, ainda não estão implementados em nenhum sistema de ensino no mundo. A França, por exemplo, mesmo depois do declínio da fase Bourbakista, não abre mão de uma dose razoável de demonstrações que são apresentadas no ensino médio. Como o ensino Francês é extermamente elitista, é possível que isso só seja bom para formar os futuros cientistas, e que o resto da população como um todo só seja torturado por este procedimento. De fato, como eu já disse, 4 operações e regra de três é suficiente para a maioria das pessoas.

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